Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC邊的中點，點E是正方形內一動點，OE＝2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得DF，連接AE，CF

（1）如圖1，求證：AE＝CF；

（2）如圖2，若A，E，O三點共線，求點F到直線BC的距離．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）點F到直線BC的距離為．

【解析】

（1）由旋轉的性質可得∠EDF＝90°，DE＝DF，由正方形的性質可得∠ADC＝90°，DE＝DF，可得∠ADE＝∠CDF，由“SAS”可證△ADE≌△CDF，可得AE＝CF；

（2）由勾股定理可求AO的長，可得AE＝CF＝3，通過證明△ABO∽△CPF，可得，即可求PF的長，即可求點F到直線BC的距離．

證明：（1）∵將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得DF，

∴∠EDF＝90°，DE＝DF.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADC＝90°，DE＝DF，

∴∠ADC＝∠EDF，

∴∠ADE＝∠CDF，且DE＝DF，AD＝CD，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴AE＝CF，

（2）解：如圖2，過點F作FP⊥BC交BC延長線于點P，

則線段FP的長度就是點F到直線BC的距離．

∵點O是BC中點，且AB＝BC＝2，

∴BO＝，

∴AO＝＝5，

∵OE＝2，

∴AE＝AO﹣OE＝3.

∵△ADE≌△CDF，

∴AE＝CF＝3，∠DAO＝∠DCF，

∴∠BAO＝∠FCP，且∠ABO＝∠FPC＝90°，

∴△ABO∽△CPF，

∴，

∴，

∴PF＝，

∴點F到直線BC的距離為.