Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形的邊在軸上，點，線段，線段，且，與的交點記為，連接．

（1）求的面積．

（2）如圖2，在線段上有兩個動點、（在點上方），且，點為中點，點為線段上一動點，當的值最小時，求出此時點的坐標；

（3）在（2）的條件下，在軸上找一點，軸上找一點，使得取得最小值，請求出的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2），（3）；

【解析】

（1）過點D作DP⊥AB于點P，則利用直角三角形的性質和勾股定理求出DP的長度，即可得到答案；

（2）根據題意，作點F關于BE的對稱點H，過點H作HI∥BE，取HI=KG=，過點I作y軸的平行線，交AB于點J，交BE于點K，交CD于點P，此時得到最小值，由軸對稱的性質，勾股定理，30度直角三角形的性質，求出BG的長度，然后求出BJ的長度，即可得到點P的坐標；

（3）如圖，作點P關于y軸的對稱點，作，交x軸于點M，交y軸于點H，則此時最小；由等腰直角三角形的性質和勾股定理求出的長度，然后求出AM的長度，即可求出最小值.

解：（1）如圖，過點D作DP⊥AB于點P，

∵，

∴，

在Rt△ADP中，AD=6，

∴AP=3，

由勾股定理，得

，

∴；

（2）如圖，作點F關于BE的對稱點H，過點H作HI∥BE，取HI=KG=，過點I作y軸的平行線，交AB于點J，交BE于點K，交CD于點P，此時得到最小值；

則四邊形KGHI是平行四邊形，

∴HG=IK=FG，HI=KG=，

在Rt△AOE中，∠OAE=60°，OA=2，

∴∠AEO=30°，

∴AE=2OA=4，

∴OE=，

在Rt△OBE中，OB=6，

∴，

∵，

∴△ABE是直角三角形，即AE⊥BE，

∴∠ABE=30°，∠FBG=90°，

∴∠BGH=∠BGF=60°，

∴∠BFG=30°，

∴，

∵點F為BC中點，

∴BF=3，

由勾股定理，得：，

∴，

∴，

在Rt△BJK中，∠ABE=30°，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴點P的坐標為：（3，）；

（3）如圖，作點P關于y軸的對稱點，作，交x軸于點M，交y軸于點H，則此時最小；

由軸對稱的性質，得，

∴，

∵，

∴是等腰直角三角形，

∴；

∵AB∥CD，

∴四邊形OMLQ是矩形，

∴OM=QL=，

∴AM=，

∴，

∴的最小值為.