Question

【題目】如圖，在ABCD中，∠ABD的平分線BE交AD于點E，∠CDB的平分線DF交BC于點F，連接BD．

（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求證：四邊形DFBE是矩形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．

∵AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB．

∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，

∴∠ABE= ∠ABD，∠CDF= ∠CDB．

∴∠ABE=∠CDF．

∵在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（ASA）

（2）證明：∵△ABE≌△CDF，

∴AE=CF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴DE∥BF，DE=BF，

∴四邊形DFBE是平行四邊形，

∵AB=DB，BE平分∠ABD，

∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．

∴平行四邊形DFBE是矩形

【解析】（1）由“BE平分∠ABD，DF平分∠CDB”可得∠ABE=∠CDF，結合平行四邊形的性質證出△ABE≌△CDF；（2）要證四邊形DFBE是矩形四邊形可先證DFBE是平行四邊形，再由“AB=DB，BE平分∠ABD”，可得BE⊥AD，即∠DEB=90°，所以平行四邊形DFBE是矩形.
【考點精析】掌握平行四邊形的性質和矩形的判定方法是解答本題的根本，需要知道平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形．