Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分線AO交BC于點D，點H為AO上一動點，過點H作直線l⊥AO于H，分別交直線AB、AC、BC于點N、E、M．
（1）當直線l經過點C時（如圖2），證明：BN=CD；
（2）當M是BC中點時，寫出CE和CD之間的等量關系，并加以證明；
（3）請直接寫出BN、CE、CD之間的等量關系．

Answer 1

分析：（1）連接ND，先由已知條件證明：DN=DC，再證明BN=DN即可；
（2）當M是BC中點時，CE和CD之間的等量關系為CD=2CE，過點C作CN'⊥AO交AB于N'．過點C作CG∥AB交直線l于G，再證明△BNM≌△CGM問題得證；
（3）BN、CE、CD之間的等量關系要分三種情況討論：①當點M在線段BC上時；②當點M在BC的延長線上時；③當點M在CB的延長線上時．

解答：（1）證明：連接ND．
∵AO平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵直線l⊥AO于H，
∴∠4=∠5=90°，
∴∠6=∠7，
∴AN=AC，
∴NH=CH，
∴AH是線段NC的中垂線，
∴DN=DC，
∴∠8=∠9．
∴∠AND=∠ACB，
∵∠AND=∠B+∠3，∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠3，
∴BN=DN．
∴BN=DC；

（2）如圖，當M是BC中點時，CE和CD之間的等量關系為CD=2CE．
證明：過點C作CN'⊥AO交AB于N'．
由（1）可得BN'=CD，AN'=AC，AN=AE．
∴∠4=∠3，NN'=CE．
過點C作CG∥AB交直線l于G．
∴∠4=∠2，∠B=∠1．
∴∠2=∠3．
∴CG=CE．
∵M是BC中點，
∴BM=CM．
在△BNM和△CGM中，

∠B=∠1 BM=CM ∠NMB=∠GMC

，
∴△BNM≌△CGM．
∴BN=CG．
∴BN=CE．
∴CD=BN'=NN'+BN=2CE．

（3）BN、CE、CD之間的等量關系：
當點M在線段BC上時，CD=BN+CE；
當點M在BC的延長線上時，CD=BN-CE；
當點M在CB的延長線上時，CD=CE-BN．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質、角平分線的性質、垂直平分線的性質、平行線的性質以及三角形的內角和定理題目難度不小．