Question

我們給出如下定義：有一組相鄰內(nèi)角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形．請解答下列問題：
（1）寫出一個(gè)你所學(xué)過的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱；
（2）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，且CD=CA，點(diǎn)E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長交AB于點(diǎn)G．求證：四邊形AGEC是等鄰角四邊形；
（3）如圖2，若點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，（2）中的其他條件不變，EF與CD交于點(diǎn)H，圖中是否存在等鄰角四邊形，若存在，指出是哪個(gè)四邊形，不必證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）鄰角相等的四邊形有很多，矩形、正方形或者等腰梯形都至少有一組鄰角相等．
（2）解本題有兩種方法：①運(yùn)用中位線的性質(zhì)，找出對應(yīng)相等的角；②用待定系數(shù)法，設(shè)出x，寫出關(guān)于x的代數(shù)式，化簡即可找出對應(yīng)相等的角．
（3）根據(jù)題意易知滿足條件的四邊形即為第二題的四邊形．

解答：解：（1）等腰梯形（或矩形，或正方形）

（2）證法一：取AC的中點(diǎn)H，連接HE、HF
∵點(diǎn)E為BC中點(diǎn)
∴EH為△ABC的中位線
∴EH∥AB，且EH=

1

2

AB
同理FH∥DC，且FH=

1

2

DC
∵AB=AC，DC=AC
∴AB=DC，EH=FH
∴∠1=∠2
∵EH∥AB，F(xiàn)H∥DC
∴∠2=∠4，∠1=∠3
∴∠4=∠3
∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180°
∴∠AGE=∠GEC
∴四邊形AGEC是鄰角四邊形
證法二：連接AE
設(shè)∠B的度數(shù)為x
∵AB=AC，CD=CA
∴∠C=∠B=x，∠1=

180°-x

2

=90°-

x

2

∵F是AD的中點(diǎn)
∴AF=DF=

1

2

AD
∴∠2=∠1=90°-

x

2

∴∠AGE=∠B+∠2=x+90°-

x

2

=90°+

x

2

∠GEC=180°-（90°-

x

2

）=90°+

x

2

∴∠AGE=∠GEC
∴四邊形AGEC是鄰角四邊形

（3）存在等鄰角四邊形，為四邊形AGHC．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的角的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用．本題較靈活，要求學(xué)生能夠把題中的條件轉(zhuǎn)化成角，從而找出相等的角來解題．