Question

（1）已知：如圖1，在四邊形ABCD中，BC⊥CD，∠ACD=∠ADC．求證：AB+AC＞

BC2+CD2

；
（2）已知：如圖2，在△ABC中，AB上的高為CD，試判斷（AC+BC）²與AB²+4CD²之間的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）連接BD，利用三角形三邊關系可得AB+AD＞BD，再利用勾股定理和等量代換即可證明．
（2）如圖，作EB⊥AB，EB=2CD，利用（1）的結論即可證明．

解答：解：（1）連接BD，
∵∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD，
∵AB+AD＞BD，
∵BC⊥CD，
∴∠BCD=90°，
∴BD=

BC2+CD2

，
∴AB+AC＞

BC2+CD2

；

（2）大小關系是（AC+BC）²＜AB²+4CD²，理由為：
如圖，作EB⊥AB，EB=2CD，
∵AB+AC＞

BC2+CD2

（1）的結論；
兩邊平方得（AC+AB）²＞BC²+CD²，
∴（AC+BC）²＜AB²+4CD²．

點評：此題主要考查三角形三邊關系和勾股定理等知識點，難易程度適中，是一道典型的題目．