Question

如圖，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于點E，AD⊥BC于點D，∠BAD=45°，AD與BE交于點F，連接CF．
（1）求證：BF=2AE；
（2）若CD=，求AD的長．

Answer 1

（1）見解析    （2）2+

試題分析：（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得AD=BD，再根據同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角邊角”證明△ADC和△BDF全等，根據全等三角形對應邊相等可得BF=AC，再根據等腰三角形三線合一的性質可得AC=2AF，從而得證。
（2）根據全等三角形對應邊相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AF=CF，然后根據AD=AF+DF代入數據即可得解。　
解：（1）證明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，∴△ABD是等腰直角三角形。∴AD=BD。
∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°。∴∠CAD=∠CBE。
在△ADC和△BDF中，∠CAD=∠CBF，AD=BD，∠ADC=∠BDF=90°，
∴△ADC≌△BDF（ASA）。∴BF=AC。
∵AB=BC，BE⊥AC，∴AC=2AE。∴BF=2AE。
（2）∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=。
在Rt△CDF中，。
∵BE⊥AC，AE=EC，∴AF=CF=2。
∴AD=AF+DF=2+。