Question

如圖1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC="6." △ECD是△ABC沿CB方向平移得到的，連結AE，AC和BE相交于點O.

小題1:（1）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，并證明你的結論；
小題2:（2）如圖2，P是線段BC上一動點（不與點B、C重合），連接PO并延長交線段AE于點Q，QR⊥BD，垂足為點R.
①四邊形PQED的面積是否隨點P的運動而發生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積；
②當線段BP的長為何值時，以點P、Q、R為頂點的三角形與△BOC相似？

Answer 1

小題1:（1）四邊形ABCE是菱形.
證明：∵ △ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，
∴ EC∥AB，EC＝AB.
∴ 四邊形ABCE是平行四邊形.
又∵ AB＝BC，
∴四邊形ABCE是菱形
小題2:（2）①四邊形PQED的面積不發生變化，理由如下：
由菱形的對稱性知，△PBO≌△QEO，
∴ S_△PBO＝ S_△QEO
∵ △ECD是由△ABC平移得到的，
∴ ED∥AC，ED＝AC＝6.
又∵ BE⊥AC，
∴BE⊥ED
∴S_{四邊形PQED}＝S_△QEO＋S_{四邊形POED}＝S_△PBO＋S_{四邊形POED}＝S_△BED
＝×BE×ED＝×8×6＝24.          ……………4分
②如圖，當點P在BC上運動，使以點P、Q、R為頂點的三角形與△COB相似.
∵∠2是△OBP的外角，
∴∠2＞∠3.
∴∠2不與∠3對應 .
∴∠2與∠1對應 .
即∠2＝∠1，∴OP=OC="3" . 
過O作OG⊥BC于G，則G為PC的中點 .
可證 △OGC∽△BOC .
∴ CG:CO＝CO:BC .
即 CG:3＝3:5 .
∴ CG= .
∴ PB＝BC－PC＝BC－2CG＝5－2×＝ .
∴ BD＝PB＋PR＋RF＋DF＝x＋＋x＋＝10.
∴ x＝                               
∴ BP＝ .         

略