Question

(12分)如圖，拋物線的頂點為A（2，1），且經過原點O，與x軸的另一個交點為B．

小題1:（1）求拋物線的解析式；
小題2:（2）在拋物線上求點M，使△MOB的面積是△AOB面積的3倍；
小題3:（3）連結OA，AB，在x軸下方的拋物線上是否存在點N，使△OBN與△OAB相似？若存在，求出N點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

小題1:（1）由題意，可設拋物線的解析式為，
∵拋物線過原點，
∴， ．
∴拋物線的解析式為．
小題2:（2）和所求同底不等高，，
∴的高是高的3倍，即M點的縱坐標是． ……………5分
∴，即．
解之，得　，．
∴滿足條件的點有兩個：，
小題3:（3）不存在． …………………………………………………………………………9分
由拋物線的對稱性，知，．
若與相似，必有．
設交拋物線的對稱軸于點，顯然．
∴直線的解析式為．
由，得，．
∴　．
過作軸，垂足為．在中，，，
∴．
又OB=4，
∴，，與不相似．
同理，在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的點．
所以在該拋物線上不存在點N，使與相似．  …………12分

略