Question

如圖，直角坐標系中Rt△ABO，其頂點為A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，將此三角板繞原點O逆時針旋轉90°，得到Rt△A′B′O．

（1）一拋物線經過點A′、B′、B，求該拋物線的解析式；
（2）設點P是在第一象限內拋物線上的一動點，是否存在點P，使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積4倍？若存在，請求出P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）在（2）的條件下，試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形PB′A′B的兩條性質．

Answer 1

（1）y=-x²+x+2；（2）P（1，2）；（4）四邊形PB′A′B為等腰梯形，答案不唯一，①等腰梯形同一底上的兩個內角相等；②等腰梯形對角線相等.

試題分析：（1）利用旋轉的性質得出A′（-1，0），B′（0，2），再利用待定系數法求二次函數解析式即可；
（2）利用S_{四邊形PB′A′B}=S_△B′OA′+S_△PB′O+S_△POB，再假設四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，得出一元二次方程，得出P點坐標即可；
（3）利用P點坐標以及B點坐標即可得出四邊形PB′A′B為等腰梯形，利用等腰梯形性質得出答案即可．
試題解析：（1）（1）△A′B′O是由△ABO繞原點O逆時針旋轉90°得到的，
又A（0，1），B（2，0），O（0，0），
∴A′（-1，0），B′（0，2）
設拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c（a≠0），
∵拋物線經過點A′、B′、B，
∴，解得：，
∴滿足條件的拋物線的解析式為y=-x²+x+2．
（2）∵P為第一象限內拋物線上的一動點，
設P（x，y），則x＞0，y＞0，P點坐標滿足y=-x²+x+2．
連接PB，PO，PB′，

∴S_{四邊形PB′A′B}=S_△B′OA′+S_△PB′O+S_△POB，=×1×2+×2×x+×2×y=x+（-x²+x+2）+1=-x²+2x+3．
∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面積為：×1×2=1，
假設四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，則
4=-x²+2x+3，
即x²-2x+1=0，
解得：x₁=x₂=1，
此時y=-1²+1+2=2，即P（1，2）．
∴存在點P（1，2），使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍．
（3）四邊形PB′A′B為等腰梯形，答案不唯一，①等腰梯形同一底上的兩個內角相等；②等腰梯形對角線相等；③等腰梯形上底與下底平行；④等腰梯形兩腰相等．
考點: 二次函數綜合題．