Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120，AD⊥BC，且AD=AB．

（1）如圖1，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E，F，求證：AE+AF=AD

（2）如圖2，如果∠EDF=60，且∠EDF兩邊分別交邊AB，AC于點E，F，那么線段AE，AF，AD之間有怎樣的數量關系？并給出證明．

Answer 1

【答案】(1)見解析；，理由見解析.

【解析】

（1）連接BD，證△ABD是等邊三角形，得∠ABD=∠BDA=∠DAB=60，再證△BDE≌△ADF(AAS)，AF=BE，故AB=AE+BE；

（2）線段AE，AF，AD之間的數量關系為：，思路如下：

連接BD，模仿（1）證△BDE≌△ADF(AAS)，得，所以.

∵在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=120

∴∠BAD=∠FAD=60

∵AD=AB

∴△ABD是等邊三角形

∴∠ABD=∠BDA=∠DAB=60

∵DE⊥AB,DF⊥AC

∴∠BED=∠DFA=90

在△BDE和△ADF中，

∠BED=∠DFA，∠EBD=∠FAD，BD=DA，

∴△BDE≌△ADF(AAS)

∴AF=BE

∴AB=AE+BE

∴AB=AE+AF

解：線段AE，AF，AD之間的數量關系為：，理由如下：

連接BD，如圖所示：

，，

是等邊三角形，

，，

，

，

，

，

在與中，

，

≌，

，

，

．