Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點M（﹣2， ），頂點坐標為N（﹣1， ），且與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為拋物線對稱軸上的動點，當△PBC為等腰三角形時，求點P的坐標；
（3）在直線AC上是否存在一點Q，使△QBM的周長最小？若存在，求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由拋物線頂點坐標為N（﹣1， ），可設其解析式為y=a（x+1）2+ ，

將M（﹣2， ）代入，得 =a（﹣2+1）2+ ，

解得a=﹣ ，

故所求拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣ x+

（2）

解：∵y=﹣ x2﹣ x+ ，

∴x=0時，y= ，

∴C（0， ）．

y=0時，﹣ x2﹣ x+ =0，

解得x=1或x=﹣3，

∴A（1，0），B（﹣3，0），

∴BC= =2 ．

設P（﹣1，m），

當CP=CB時，有CP= =2 ，解得m= ± ；

當BP=BC時，有BP= =2 ，解得m=±2 ；

當PB=PC時， = ，解得m=0，

綜上，當△PBC為等腰三角形時，點P的坐標為（﹣1， + ），（﹣1， ﹣ ），（﹣1，2 ），（﹣1，﹣2 ），（﹣1，0）

（3）

解：由（2）知BC=2 ，AC=2，AB=4，

所以BC2+AC2=AB2，即BC⊥AC．

連結BC并延長至B′，使B′C=BC，連結B′M，交直線AC于點Q，

∵B、B′關于直線AC對稱，

∴QB=QB′，

∴QB+QM=QB′+QM=MB′，

所以此時△QBM的周長最小．

由B（﹣3，0），C（0， ），易得B′（3，2 ）．

設直線MB′的解析式為y=kx+n，

將M（﹣2， ），B′（3，2 ）代入，

得 ，解得 ，

即直線MB′的解析式為y= x+ ．

同理可求得直線AC的解析式為y=﹣ x+ ．

由 ，解得 ，即Q（﹣ ， ）．

所以在直線AC上存在一點Q（﹣ ， ），使△QBM的周長最小．

【解析】（1）先由拋物線的頂點坐標為N（﹣1， ），可設其解析式為y=a（x+1）2+ ，再將M（﹣2， ）代入，得 =a（﹣2+1）2+ ，解方程求出a的值即可得到拋物線的解析式；（2）先求出拋物線y=﹣ x2﹣ x+ 與x軸交點A、B，與y軸交點C的坐標，再根據勾股定理得到BC= =2 ．設P（﹣1，m），當△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；（3）先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC，連結BC并延長至B′，使B′C=BC，連結B′M，交直線AC于點Q，由軸對稱的性質可知此時△QBM的周長最小，由B（﹣3，0），C（0， ），根據中點坐標公式求出B′（3，2 ），再運用待定系數法求出直線MB′的解析式為y= x+ ，直線AC的解析式為y=﹣ x+ ，然后解方程組 ，即可求出Q點的坐標．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)．