Question

【題目】在⊙O中，AB為⊙O的直徑，AC是弦， ， ．
（1）在圖1中，P為直徑BA延長線上的一點，當CP與⊙O相切時，求PO的長；

（2）如圖2，一動點M從A點出發，在⊙O上按逆時針方向運動一周，當 時，求半徑OM所掃過的扇形的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵CP與⊙O相切，OC是半徑．

∴CP⊥OC，

又∵∠OAC=∠AOC=60°，

∴∠P=90°-∠AOC=30°，

∴在Rt△POC中，CO= PO=4，

則PO=2CO=8

（2）解：如圖，

①作點C關于直徑AB的對稱點M1，連接AM1，OM1．

易得S△M1AO=S△CAO，∠AOM1=60°∴當點M運動到M1時，S△MAO=S△CAO，

此時點M經過的弧長為 ，

∴半徑OM所掃過的扇形的面積= ；

②過點M1作M1M2∥AB交⊙O于點M2，連接AM2，OM2，易得S△M2AO=S△CAO．

∴∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°

∴ 或 ，

∴當點M運動到M2時，S△MAO=S△CAO，此時點M經過的弧長為 ，

∴半徑OM所掃過的扇形的面積= × ×4= π；

③過點C作CM3∥AB交⊙O于點M3，連接AM3，OM3，易得S△M3AO=S△CAO

∴∠BOM3=60°，

∴ = ×240或 = ×2=

∴當點M運動到M3時，S△MAO=S△CAO，此時點M經過的弧長為 ，

∴半徑OM所掃過的扇形的面積= × ×4= ；

④當點M運動到C時，M與C重合，S△MAO=S△CAO，

此時點M經過的弧長為 ×300°或 π+ =

∴半徑OM所掃過的扇形的面積= × ×4=

【解析】（1）根據CP與⊙O相切，得出CP⊥OC，根據題意易證△OAC是等邊三角形，可求出∠P=30°，再根據直角三角形中，30°的直角邊等于斜邊的一半，求出OP的長。
（2）如圖，當S△MAO=S△CAO時，動點M的位置有四種．①作點C關于直徑AB的對稱點M1，連接AM1，OM1，先證S△MAO=S△CAO，再求出點M經過的弧長，即可求出半徑OM所掃過的扇形的面積；②過點M1作M1M2∥AB交 O于點M2，連接AM2，OM2，③過點C作CM3∥AB交 O于點M3，連接AM3，OM3；④當點M運動到C時，M與C重合，求得每種情況的OM轉過的度數，再根據弧長公式求得點M經過的弧長，然后求出半徑OM所掃過的扇形的面積。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解含30度角的直角三角形的相關知識，掌握在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半，以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．