Question

【題目】如圖，直角坐標系中，直線 y=kx+b 分別交x,y軸于點A(-8，0)，B(0，6)，C（m,0）是射線AO上一動點，⊙P過B，O，C三點，交直線AB于點D（B，D不重合）.

（1）求直線AB的函數表達式.

（2）若點D在第一象限，且tan∠ODC= ， 求點D的坐標.

（3）當△ODC為等腰三角形時，求出所有符合條件的m的值.

（4）點P，Q關于OD成軸對稱，當點Q恰好落在直線AB上時，直接寫出此時BQ的長.

Answer 1

【答案】（1）y=x+6；（2）D（ ， ）；（3）m的值為-3或或12或 8；（4）BQ=.

【解析】

（1）把A、B兩點坐標代入y=kx+b求出k、b的值即可；（2）連結BC，作DE⊥OC于點E，根據圓周角定理可得∠OBC=∠ODC，由tan∠ODC= 可求出OC的長，進而可得AC的長，利用∠DAC的三角函數值可求出DE的長，即可得D點縱坐標，代入直線AB解析式求出D點橫坐標即可得答案；（3）分四種情況泰倫，利用兩點間距離公式及相似三角形對應邊成比例列式即可；（4）分析四邊形DPOQ為菱形，推出∠BOP=∠ABO，利用三角函數求線段長度；

解：

（1）∵A（-8，0）、B（0，6）在y=kx+b上，

∴，解得，

∴直線AB的函數表達式為y=x+6.

（2）連結BC，作DE⊥OC于點E，

∵∠BOC=90°，

∴BC為⊙P的直徑，

∴∠ADC=90°，

∵∠OBC=∠ODC，tan∠ODC=，

∴，

∵OB=6，OA=8，

∴OC=10，AC=18，AB=10，

∵cos∠DAC==，sin∠DAC==，

，

，

令 ，，，

∴D（ ， ）

（3）①如圖2所示，當DC=OC時，

∵BC=BC，∠BDC=∠BOC=90°，

∴△BDC≌△BOC(HL)，

∴BD=BO=6，

設點D的坐標為（n，），

∴BD=，

解得n=，

∴D（ ，），

∵C（m，0），

∴DC=，

解得m=-3.

②如圖3所示，當OD=DC時，

過D作DE⊥OC于點E，

設點D的坐標為（a，），則m=2a，

∴DE=， EC=a，AE=8+a，

∴△ADE∽△DCE，

∴，

即，

解得（舍去），

∴m=.

③如圖4所示，當DC=OC時，

∵OC=m，

∴CD=m，

∴AD=，

∴AC=，

∴8+m=，

解得m=12.

④如圖5所示，當OD=OC時，

OC=OD=m，

∴AC=8+m，

∴AD=AC×cos∠BAO=，

則AH=AD×cos∠BAO=，

∴OH=AH-8=，

∵DH=AD×sin∠BAO=，

∴，

解得m=±8.

∵m>0

∴m=8

綜上所述，m的值為-3或或12或 8.

（4）解：如圖6所示，連結OQ，

∵PD=DQ，PO=OQ，PD=OP，

∴DQ=DP=PO=OQ，

∴四邊形DQOP為菱形，

∴DQ∥PO，

∴∠BOP=∠PBO=∠ABO，

在Rt△BOC中，∠BOC=90°，P為BC中點

∴BP=BC=BO÷cos∠BOP=5，

∴OQ=5，

設點Q的坐標為（c，），

則OQ= ，

∴

∵c=-4時，B、D重合

∴c=-4不符合題意，舍去

∴

∴Q（-，），

∴BQ=.