Question

【題目】如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點B、C分別在邊AD、AF上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）當△ABC繞點A逆時針旋轉θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
（2）當△ABC繞點A逆時針旋轉45°時，如圖3，延長DB交CF于點H．
①求證：BD⊥CF．
②當AB=2，AD=3 時，求線段BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖2中，BD=CF成立．

理由：由旋轉得：AC=AB，∠CAF=∠BAD=θ；AF=AD，

在△ABD和△ACF中，

，

∴△ABD≌△ACF，

∴BD=CF

（2）

①證明：如圖3中，

由（1）得，△ABD≌△ACF，

∴∠HFN=∠ADN，

∵∠HNF=∠AND，∠AND+∠AND=90°

∴∠HFN+∠HNF=90°

∴∠NHF=90°，

∴HD⊥HF，即BD⊥CF．

②如圖4中，連接DF，延長AB，與DF交于點M．

∵四邊形ADEF是正方形，

∴∠MDA=45°，

∵∠MAD=45°

∴∠MAD=∠MDA，∠AMD=90°，

∴AM=DM，

∵AD=3 ，

在△MAD中，AM2+DM2=AD2，

∴AM=DM=3，

∴MB=AM﹣AB=3﹣2=1，

在△BMD中，BM2+DM2=BD2，

∴BD= =

【解析】（1）結論：BD=CF．只要證明△ABD≌△ACF即可．（2）①在利用“8字型”證明∠FHN=∠DAN=90°，即可解決問題．②如圖4中，連接DF，延長AB，與DF交于點M．在Rt△BDM中，切線BM、DM，再利用勾股定理即可解決問題．