Question

【題目】如圖，在直角三角形中，.

（1）如圖1，點在線段上，在線段的延長線上取一點，使得.過點作，交延長線于點，過點作，交于點，交于點.判斷與有怎樣的數量關系，寫出你的結論，并加以證明；

（2）如圖2，點在線段的延長線上，在線段的延長線上取一點，使得.過點作于點，過點作，交延長線于點，交延長線于點.

①依題意補全圖形；

②若，求證：.

Answer 1

【答案】（1）∠ENB=∠NAC，理由見解析；（2）①見解析；②見解析；

【解析】

（1）依據∠NFD=∠ADB=90°，∠ACB=90°，即可得到∠FAC+∠AMC=∠FNC+∠AMC=90°，進而得出∠MAC=∠ENB，再根據∠NAC=∠MAC，即可得到∠ENB=∠NAC；

（2）①過點B作BD⊥AM于點D，過點N作NE∥BD，交BA延長線于點E，交MA延長線于點F；②依據∠ENB=∠NAC，∠NEA=135°-∠ENB，∠EAN=135°-∠NAC，即可得到∠NEA=∠NAE．

(1)∠ENB與∠NAC之間的數量關系：∠ENB=∠NAC，

理由：∵BD⊥AM，

∴∠ADB=90°，

∵NE∥BD，

∴∠NFD=∠ADB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠FAC+∠AMC=∠FNC+∠AMC=90°，

∴∠MAC=∠ENB，

又∵∠NAC=∠MAC，

∴∠ENB=∠NAC；

(2)①補全圖形如圖：

②同理可證∠ENB=∠NAC，

∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=45°，

∴∠ABC=45°，

∴∠ABM=135°，

∴∠NEA=∠ABM∠NEB=135°∠ENB，

∵∠EAN=∠EAB∠NAC∠CAB=135°∠NAC，

∴∠NEA=∠NAE.