Question

已知，如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的邊BC在x軸上，頂點A在y軸的正半軸上，OA=2，OB=1，OC=4．

（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；

（2）設點G是對稱軸上一點，求當△GAB周長最小時，點G的坐標；

（3）若拋物線對稱軸交x軸于點P，在平面直角坐標系中，是否存在點Q，使△PAQ是以PA為腰的等腰直角三角形？若存在，寫出所有符合條件的點Q的坐標，并選擇其中一個的加以說明；若不存在，說明理由；

（4）設點M是x軸上的動點，試問：在平面直角坐標系中，是否存在點N，使得以點A、B、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）由線段長度求出三個點的坐標，再用待定系數法求解即可；

（2）找到點B關于拋物線對稱軸的對稱點A，取AB與拋物線對稱軸的交點即可；

（3）分別過點P，A作AP的垂線，取點Q，根據等腰直角三角形構建全等三角形即可求解；

（4）根據以AB為邊和以AB為對角線進行討論，結合菱形的性質進行求解即可．

【解答】解：（1）由題意可求，A（0，2），B（﹣1，0），點C的坐標為（4，0）．

設過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=a（x﹣4）（x+1），

把點A（0，2）代入，解得：a=﹣，

所以拋物線的解析式為：y=﹣（x﹣4）（x+1）=，

（2）如圖1

物線y=的對稱軸為：x=，

由點C是點B關于直線：x=的對稱點，所以直線AC和直線x=的交點即為△GAB周長最小時的點G，

設直線AC的解析式為：y=mx+n，把A（0，2），點C（4，0）代入得：．

，

解得：，

所以：y=x+2，

當x=時，y=，

所以此時點G（，）；

（3）如圖2

使△PAQ是以PA為腰的等腰直角三角形的所有符合條件的點Q的坐標：Q₁（，），Q₂（，﹣），Q₃（2，），Q₄（﹣2，），

證明Q₁：過點Q₁作Q₁M⊥x軸，垂足為M，

由題意：∠APQ₁=90°，AP=PQ₁，

∴∠APO+∠MPQ₁=90°，

∵∠APO+∠PAO=90°，

∴∠PAO=∠MPQ₁，

在△AOP和△MPQ₁中，

，

∴△AOP≌△MPQ₁，

∴PM=AO=2，Q₁M=OP=，

∴OM=，

此時點Q的坐標為：（，）；

（4）存在

點N的坐標為：（0，﹣2），（，2），（﹣，2），（，2）．

【點評】此題主要考查二次函數的綜合問題，會運用待定系數法求函數解析式；結合對稱點解決線段和最小問題；熟悉等腰直角三角形的性質，并應用于點的存在的研究；熟悉菱形的性質，并運用于菱形頂點的存在性研究是解決此題的關鍵．