Question

已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交與A、B兩點（A點在B點左側），與y軸交與點C（0，﹣3），對稱軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對稱軸交與點D．

（1）求拋物線的函數關系式．

（2）若平行于x軸的直線與拋物線交于點M、N（M點在N點左側），且MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓的半徑．

（3）若點M在第三象限，記MN與y軸的交點為點F，點C關于點F的對稱點為點E．

①當線段MN=AB時，求tan∠CED的值；

②當以C、D、E為頂點的三角形是直角三角形時，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【專題】代數幾何綜合題．

【分析】（1）把點C的坐標代入函數解析式求出c，再根據對稱軸求出b，即可得解；

（2）設圓的半徑為r，則MN=2r，再分直線MN在x軸上方與下方兩種情況表示出點N的坐標，然后代入拋物線解析式計算即可求出r；

（3）①令y=0解關于x的一元二次方程求出點A、B的坐標，從而得到AB，再求出MN的長度，根據拋物線的對稱性求出點N的橫坐標，再代入拋物線解析式求出點N的縱坐標，即點F的縱坐標，再根據點的對稱求出點E的坐標，設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數），利用待定系數法求出直線BC的解析式，再求出點D的坐標，然后根據點D、E的坐標，利用銳角的正切的定義列式計算即可得解；

②根據直線BC的解析式可得∠BCO=45°，然后分∠CDE=90°時，△CDE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質，點F與點D的縱坐標相同，即為點M的縱坐標，然后代入拋物線解析式，計算即可得到點M的坐標；∠CED=90°時，點E與點D的縱坐標相同，根據對稱性求出點F的縱坐標，即為點M的縱坐標，然后代入拋物線解析式，計算即可得到點M的坐標．

【解答】解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c與y軸交于點C（0，﹣3），

∴c=﹣3，

對稱軸為直線x=﹣=1，

∴b=﹣2，

∴拋物線的函數關系式y=x²﹣2x﹣3；

（2）設圓的半徑為r，則直徑MN=2r，

①當直線MN在x軸上方時，點N的坐標為（r+1，r），

代入拋物線解析式得，（r+1）²﹣2（r+1）﹣3=r，

整理得，r²﹣r﹣4=0，

解得r₁=，r₂=（舍去）；

②當直線MN在x軸下方時，（r+1）²﹣2（r+1）﹣3=﹣r，

整理得，r²+r﹣4=0，

解得r₃=，r₄=（舍去），

所以該圓的半徑為或；

（3）①令y=0，則x²﹣2x﹣3=0，

解得x₁=﹣1，x₂=3，

∴點A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB=3﹣（﹣1）=4，

∵MN=AB，

∴MN=×4=3，

根據二次函數的對稱性，點N的橫坐標為1+=，

代入二次函數解析式得，y=（）²﹣2×﹣3=﹣，

∴點N的坐標為（，﹣），

點F的縱坐標為﹣，

∵點C關于點F的對稱點為E，﹣×2﹣（﹣3）=﹣，

∴點E的坐標為（0，﹣），

設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數），

則，

解得，

∴直線BC的解析式為y=x﹣3，

x=1時，y=1﹣3=﹣2，

∴點D的坐標為（1，﹣2），

tan∠CED==；

②∵直線BC的解析式為y=x﹣3，

∴∠BCO=45°，

若∠CDE=90°，則△CDE是等腰直角三角形，

∴點F與點D縱坐標相同，為﹣2，

∴點M的縱坐標為﹣2，

代入二次函數y=x²﹣2x﹣3得，x²﹣2x﹣3=﹣2，

整理得，x²﹣2x﹣1=0，

解得x₁=1﹣，x₂=1+，

∵點M在第三象限，

∴點M的坐標為M（1﹣，﹣2）；

若∠CED=90°，則點E與點D的縱坐標相同，為﹣2，

∵點C關于點F的對稱點為E，

∴點F的縱坐標為=﹣，

∴點M的縱坐標為﹣，

代入二次函數y=x²﹣2x﹣3得，x²﹣2x﹣3=﹣，

整理得，2x²﹣4x﹣1=0，

解得x₁=1+，x₂=1﹣，

∵點M在第三象限，

∴點M的坐標為M（1﹣，﹣），

綜上所述，點M的坐標為（1﹣，﹣2）或（1﹣，﹣）．

【點評】本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，直線與圓的位置關系，銳角三角函數的定義，點的對稱，綜合性較強，但難度不大，難點在于要分情況討論．