Question

【題目】（1）如圖①，在平行四邊形ABCD中，AC、BD交于點O，過點O作直線EF分別交AD、BC于點E、F，

求證：OE=OF．

（2）在圖①中，過點O作直線GH分別交AB、CD于點G、H，且滿足GH⊥EF，連結EG、GF、FH、HE．如圖②，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，

若平行四邊形ABCD變為矩形時，四邊形EGFH是 ；

若平行四邊形ABCD變為菱形時，四邊形EGFH是 ；

若平行四邊形ABCD變為正方形時，四邊形EGFH是 ．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）菱形；菱形；正方形

【解析】

試題分析：（1）由于平行四邊形對角線的交點是它的對稱中心，即可得出OE=OF、OG=OH；根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可判斷出EGFH的性質；

（2）當EF⊥GH時，平行四邊形EGFH的對角線互相垂直平分，故四邊形EGFH是菱形；

（3）若平行四邊形ABCD變為矩形，即AC=BD時，對四邊形EGFH的形狀不會產生影響，故結論同（2）；

若平行四邊形ABCD變為菱形，即AC⊥BD時，對四邊形EGFH的形狀不會產生影響，故結論同（2）；

當四邊形ABCD是正方形，則對角線相等且互相垂直平分；可通過證△BOG≌△COF，得OG=OF，從而證得菱形的對角線相等，根據對角線相等的菱形是正方形即可判斷出EGFH的形狀．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO=CO，AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（AAS），

∴EO=FO；

（2）解：四邊形EGFH是菱形；

理由：如圖②：

由（1）可知，OE=OF，

同理可得：OG=OH，

∴四邊形EGFH是平行四邊形，

又∵EF⊥GH，

∴四邊形EGFH是菱形；

（3）解：若平行四邊形ABCD變為矩形時，四邊形EGFH是菱形；

理由：由（2）知四邊形EGFH是菱形，

當AC=BD時，對四邊形EGFH的形狀不會產生影響；

故答案為：菱形；

若平行四邊形ABCD變為菱形時，四邊形EGFH是菱形；

理由：由（2）知四邊形EGFH是菱形，

當AC⊥BD時，對四邊形EGFH的形狀不會產生影響；

故答案為：菱形；

若平行四邊形ABCD變為正方形時，四邊形EGFH是四邊形EGFH是正方形；

理由：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；

∵EF⊥GH，

∴∠GOF=90°；

∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°

∴∠BOG=∠COF；

在△BOG和△COF中

，

∴△BOG≌△COF（ASA）；

∴OG=OF，

同理可得：EO=OH，

∴GH=EF；

由（3）知四邊形EGFH是菱形，

又EF=GH，

∴四邊形EGFH是正方形．

故答案為：正方形．