Question

【題目】如圖，P，Q，R，S四個小球分別從正方形的四個頂點A，B，C，D同時出發，以同樣的速度分別沿AB，BC，CD，DA的方向滾動，其終點分別是B，C，D，A.

(1)不管滾動多長時間，求證：連接四個小球所得的四邊形PQRS總是正方形．

(2)四邊形PQRS在什么時候面積最大？

(3)四邊形PQRS在什么時候面積為原正方形面積的一半？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當P，Q，R，S在出發時或在到達終點時面積最大；（3）當P，Q，R，S四點運動到正方形ABCD各邊中點時，四邊形PQRS的面積為原正方形面積的一半.

【解析】試題分析： 根據已知可確定 進而根據正方形的性質，可判定 之間是否全等，從而可初步判斷四邊形 的形狀，判斷出四邊形為菱形后，只需證明其中有一個角等于 ，便可證明四邊形為正方形.

當 在出發時或在到達終點時面積最大，此時的面積就等于原正方形的面積．

當四點運動到正方形四邊中點時，四邊形的面積是原正方形 面積的一半．

試題解析：∵四邊形 是正方形，

.

又∵不管滾動多長時間，

∴不管滾動多長時間，四邊形是菱形．又

∴不管滾動多長時間，四邊形總是正方形．

當 在出發時或在到達終點時面積最大，此時的面積就等于原正方形的面積．

當四點運動到正方形四邊中點時，四邊形的面積是原正方形面積的一半．

理由：設原正方形 的邊長為

當時，在 中，

由勾股定理，得

即

解得 同理可得

∴當四點運動到正方形各邊中點時，四邊形的面積為原正方形面積的一半．