Question

【題目】直線MN與線段AB相交于點O．點C，點D分別為射線ON，OM上兩點，且滿足∠ACN=∠ODB=45°．

【特殊發現】

（1）如圖1，若AO=OB，當點C與點O重合時，此時AO與BD的數量關系為 ，AO與BD的位置關系為 ；

【拓展探究】

（2）將圖1中的MN繞點O順時針旋轉α°，（0＜α＜45），如圖2所示，若AO=OB，求證：AC=BD，AC⊥BD；

【解決問題】

（3）如圖3，若kAO=OB，求的值．

Answer 1

【答案】（1）AO=BD，AO⊥BD；

（2）證明見解析；

（3）k．

【解析】

試題分析：（1）先根據∠BOD和∠2的度數，判斷DB與OB的數量關系以及位置關系，再得出AO與BD的數量關系與位置關系；

（2）先過點B作BE∥AC，通過判定△AOC≌△BOE，得到∠BED的度數，再根據∠BED和∠2的度數，判斷DB與EB的數量關系以及位置關系，再得出AC與BD的數量關系與位置關系；

（3）先過點B作BE∥AC，根據△AOC∽△BOE，得出BE與AC的比值，再根據DB=BE，得出BD與AC的比值．

試題解析：（1）如圖1，當點C與點O重合時，∠1=∠DOB=45°

∵∠2=45°

∴DB=OB，且∠B=90°，即△BOD是等腰直角三角形

又∵AO=OB

∴AO=BD

∵∠B=90°

∴DB⊥AB，即DB⊥AO

故答案為：AO=BD；AO⊥BD

（2）如圖2，過點B作BE∥AC，交MN于E，則∠A=∠OBE

∵AO=BO，∠AOC=∠BOE

∴△AOC≌△BOE（ASA）

∴AC=BE，∠ACO=∠BEO

∴∠1=∠BED=45°

又∵∠2=45°

∴∠DBE=90°，且DB=BE，即△BED是等腰直角三角形

∴DB⊥BE，AC=DB

又∵BE∥AC

∴AC⊥BD

（3）如圖3，過點B作BE∥AC，交MN于E，則△AOC∽△BOE

∴=k，且∠ACO=∠BEO

∴∠1=∠BED=45°

又∵∠2=45°

∴DB=BE

∴=k