Question

【題目】如圖，平面直角坐標系xOy中點A的坐標為（﹣1，1），點B的坐標為（3，3），拋物線經過A、O、B三點，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點E．

（1）求點E的坐標；

（2）求拋物線的函數解析式；

（3）點F為線段OB上的一個動點（不與點O、B重合），直線EF與拋物線交于M、N兩點（點N在y軸右側），連接ON、BN，當四邊形ABNO的面積最大時，求點N的坐標并求出四邊形ABNO面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）E點坐標為(0, )；（2） ；（3）四邊形ABNO面積的最大值為，此時N點坐標為(， )．

【解析】

（1）先利用待定系數法求直線AB的解析式，與y軸的交點即為點E；

（2）利用待定系數法拋物線的函數解析式；

（3）先設N(m，m2m)(0＜m＜3)，則G（m，m），根據面積和表示四邊形ABNO的面積，利用二次函數的最大值可得結論．

（1）設直線AB的解析式為y=mx+n，

把A（-1，1），B（3，3）代入得，解得，

所以直線AB的解析式為y＝x+，

當x=0時，y＝×0+＝，

所以E點坐標為(0，)；

（2）設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，

把A（-1，1），B（3，3），O（0，0）代入得，解得，

所以拋物線解析式為y＝x2x；

（3）如圖，作NG∥y軸交OB于G，OB的解析式為y=x，

設N(m，m2m)(0＜m＜3)，則G（m，m），

GN＝m(m2m)＝m2+m，

S△AOB=S△AOE+S△BOE=××1+××3=3，

S△BON＝S△ONG+SBNG＝3(m2+m)＝m2+m

所以S四邊形ABNO＝S△BON+S△AOB＝m2+m+3＝ (m)2+

當m＝時，四邊形ABNO面積的最大值，最大值為，此時N點坐標為(，)．