Question

【題目】如圖，頂點M在y軸上的拋物線與直線y=x+1相交于A、B兩點，且點A在x軸上，點B的橫坐標為2，連結AM、BM．

（1）求拋物線的函數關系式；

（2）判斷△ABM的形狀，并說明理由；

（3）把拋物線與直線y=x的交點稱為拋物線的不動點．若將（1）中拋物線平移，使其頂點為（m，2m），當m滿足什么條件時，平移后的拋物線總有不動點．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=x2﹣1；（2）△ABM為直角三角形．理由見解析；（3）當m≤時，平移后的拋物線總有不動點．

【解析】試題分析：（1）分別寫出A、B的坐標，利用待定系數法求出拋物線的解析式即可；

根據OA＝OM＝1，AC＝BC＝3，分別得到∠MAC＝45°，∠BAC＝45°，得到∠BAM＝90°，進而得到△ABM是直角三角形；

（3）根據拋物線的平以后的頂點設其解析式為，

∵拋物線的不動點是拋物線與直線的交點，∴，

方程總有實數根，則≥0，得到m的取值范圍即可

試題解析：解：（1）∵點A是直線與軸的交點，∴A點為（-1，0）

∵點B在直線上，且橫坐標為2，∴B點為（2，3）

∵過點A、B的拋物線的頂點M在軸上，故設其解析式為：

∴，解得：

∴拋物線的解析式為．

（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：

作BC⊥軸于點C，∵A（-1，0）、B（2，3）∴AC＝BC＝3，∴∠BAC＝45°；

點M是拋物線的頂點，∴M點為（0，-1）∴OA＝OM＝1，

∵∠AOM＝90°∴∠MAC＝45°；

∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°∴△ABM是直角三角形．

（3）將拋物線的頂點平移至點（， ），則其解析式為．

∵拋物線的不動點是拋物線與直線的交點，∴

化簡得：

∴＝＝

當時，方程總有實數根，即平移后的拋物線總有不動點

∴．