Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2﹣2bx﹣3（b為常數，b＜0）．

發現：（1）拋物線y=x2﹣2bx﹣3總經過一定點，定點坐標為　 　；

（2）拋物線的對稱軸為直線x=　 　（用含b的代數式表示），位于y軸的　 　側．

思考：若點P（﹣2，﹣1）在拋物線y=x2﹣2bx﹣3上，拋物線與反比例函數y=（k＞0，x＞0）的圖象在第一象限內交點的橫坐標為a，且滿足2＜a＜3，試確定k的取值范圍．

探究：設點A是拋物線上一點，且點A的橫坐標為m，以點A為頂點做邊長為1的正方形ABCD，AB⊥x軸，點C在點A的右下方，若拋物線與CD邊相交于點P（不與D點重合且不在y軸上），點P的縱坐標為﹣3，求b與m之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】發現:(1) （0，﹣3）；(2)b，左；思考：10＜k＜36；探究：b=．

【解析】試題分析:解：（1）拋物線與y軸的交點為定點；當x=0時，y=x2﹣2bx﹣3=﹣3，

所以拋物線經過定點（0，﹣3）；

（2）利用拋物線的對稱軸方程得到拋物線的對稱軸為直線x=b，然后利用b的范圍確定拋物線的對稱軸在y軸的左側；

思考：把P點坐標代入y=x2﹣2bx﹣3得b=﹣1，則拋物線解析式為y=x2+2x﹣3，再分別計算出a=2和a=3所對應的二次函數值，從而確定反比例函數與拋物線的交點的位置，然后利用反比例函數圖象上點的坐標特征確定k的范圍；

探究：設A（m，m2+2m﹣3），利用正方形的性質得D（m+1，m2+2m﹣3），則P點的坐標為（m+1，﹣3），然后把P（m+1，﹣3）代入y=x2﹣2bx﹣3可得到b與m的關系式．

試題解析:解：（1）當x=0時，y=x2﹣2bx﹣3=﹣3，

所以拋物線經過定點（0，﹣3）；

（2）拋物線的對稱軸為直線x=﹣=b，

因為b＜0，

所以拋物線的對稱軸在y軸的左側；

故答案為（0，﹣3），b，左；

思考：把P（﹣2，﹣1）代入y=x2﹣2bx﹣3得4+4b﹣3=﹣1，解得b=﹣1，

拋物線解析式為y=x2+2x﹣3，

當a=2時，y=x2+2x﹣3=4+4﹣3=5，

當a=3時，y=x2+2x﹣3=9+6﹣3=12，

所以二次函數圖象與反比例函數的交點在拋物線上的點（2，5），（3，12）之間，

所以2×5＜k＜3×12，

即10＜k＜36；

探究：設A（m，m2+2m﹣3），

∵正方形ABCD的邊長為1，AB⊥x軸，

∴D（m+1，m2+2m﹣3），

∴P點的坐標為（m+1，﹣3），

把P（m+1，﹣3）代入y=x2﹣2bx﹣3得（m+1）2﹣2b（m+1）﹣3=﹣3，

而m+1≠0，

∴m+1﹣2b=0，

∴b=．