Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別角與A、B兩點，P、Q分別是線段OB、AB上的兩個動點，點P從O出發一每秒2個單位長度的速度向終點B運動，同時Q從B出發，以每秒5個單位的速度向終點A運動，當其中一點到達終點時整個運動結束，設運動時間為t秒。

（1）求出點Q的坐標（用t的代數式表示）

（2）若C為OA的中點，連接PQ、CQ，以PQ、CQ為鄰邊作PQCD.

①是否存在時間t，使得坐標軸切好將PQCD的面積分為1:5的兩個部分，若存在，求出t的值;若不存在，請說明理由.

②直接寫出整個運動過程中PQCD對角線DQ的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①t=1或1.5；②4≤DQ≤4

【解析】

（1）先利用勾股定理求出AB，再判斷出△BEQ∽△BOA，得出比例式，代值求解即可得出結論；

（2）①分兩種情況，利用同高的兩三角形的面積的比等于底的比，求解得出結論；

②利用兩點間距離公式，得出DQ2，再用函數的性質即可得出結論．

解：（1）如圖1，

針對于直線y＝，

令x＝0，則y＝6，

∴B（0，6），

∴OB＝6，

令y＝0，則＝0，

∴x＝8，

∴A（8，0），

∴OA＝8，

根據勾股定理得，AB＝＝10，

由運動知，BQ＝5t，

過點Q作QE⊥y軸于E，

∴QE∥AO，

∴△BEQ∽△BOA，

∴，

∴，

∴BQ＝3t，EQ＝4t，

∴OE＝OB﹣BE＝6﹣3t，

∴Q（4t，6﹣3t）；

（2）連接DQ，CP，由運動知，OP＝2t，

∴P（0，2t），

∵點C是OA的中點，

∴C（4，0），

∵四邊形CQPD是平行四邊形，

∴DQ與CP互相平分，

設D（m，n），

由（1）知，Q（4t，6﹣3t）；

∴4t+m＝4，6﹣3t+n＝2t，

∴m＝4﹣4t，n＝5t﹣6，

∴D（4﹣4t，5t﹣6），

①Ⅰ、當x軸將將PQCD的面積分為1：5的兩個部分時，如圖2，

∵PC是平行四邊形PQCD的對角線，

∴S△PCQ＝S△PCD，

∵S△CDF：S四邊形CFPQ＝1：5，

∴S△CDF：S△CPF＝1：2，

∴DF：PF＝1：2，

∴PF：DF＝2：1，

過點D作DG⊥y軸于G，

∴OG＝6﹣5t，

∴DG∥FO，

∴，

∴，

∴t＝1，【注：點D本身在y軸上，為了解決問題，沒將點D放在y軸上】

Ⅱ、當x軸將將PQCD的面積分為1：5的兩個部分時，如圖3，

過點D作DN⊥x軸于N，

同Ⅰ的方法得，t＝1.5，

即：坐標軸剛好將PQCD的面積分為1：5的兩個部分時，t＝1秒或1.5秒；

②由（1）知，Q（4t，6﹣3t），

∵D（4﹣4t，5t﹣6），

∴DQ2＝（4﹣4t﹣4t）2+（6﹣3t﹣5t+6）2＝128（t﹣1）2+32，

由運動知，0≤t≤2，

∴當t＝1時，DQ2最小＝32，

∴DQ最小＝4，

當t＝0或2時，DQ2最大＝160，

∴DQ最大＝4，

∴4≤DQ≤4．