Question

【題目】（探索發現）

如圖，是等邊三角形，點為邊上一個動點，將繞點逆時針旋轉得到，連接.小明在探索這個問題時發現四邊形是菱形.

小明是這樣想的：

（1）請參考小明的思路寫出證明過程；

（2）直接寫出線段，，之間的數量關系：______________；

（理解運用）

如圖，在中，于點.將繞點逆時針旋轉得到，延長與，交于點.

（3）判斷四邊形的形狀，并說明理由；

（拓展遷移）

（4）在（3）的前提下，如圖，將沿折疊得到，連接，若，，求的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）四邊形是正方形；（4）

【解析】

（1）根據旋轉得：△ACE是等邊三角形，可得：AB=BC=CE=AE，則四邊形ABCE是菱形；

（2）先證明C、F、E在同一直線上，再證明△BAD≌△CAF（SAS），則∠ADB=∠AFC，BD=CF，可得AC=CF+CD；

（3）先根據∠ADC=∠DAF=∠F=90°，證明得四邊形ADGF是矩形，由鄰邊相等可得四邊形ADGF是正方形；

（4）證明△BAM≌△EAD（SAS），根據BM=DE及勾股定理可得結論．

（1）證明：∵是等邊三角形，

∴.

∵繞點逆時針旋轉得到，

∴，.

∴是等邊三角形.

∴.

∴.

∴四邊形是菱形.

（2）線段，，之間的數量關系：.

（3）四邊形是正方形.理由如下：

∵繞點逆時針旋轉得到，

∴，.

∵，

∴.

∴四邊形是矩形.

∵，

∴四邊形是正方形.

（4）如圖，連接.

∵四邊形是正方形，

∴.

∵繞點逆時針旋轉得到，

∴，，∴.

∵將沿折疊得到，

∴，.

∴.

∴，即.

∵，

∴.

在和中，，

∴.

∴.