Question

在△ABC中，∠ACB＝90°，經過點C的⊙O與斜邊AB相切于點P．

（1）如圖①，當點O在AC上時，試說明2∠ACP＝∠B；

（2）如圖②，AC＝8，BC＝6，當點O在△ABC外部時，求CP長的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當點O在AC上時，OC為⊙O 的半徑，

∵BC⊥OC，且點C在⊙O上，∴BC與⊙O相切．

∵⊙O與AB邊相切于點P，∴BC＝BP．

∴∠BCP＝∠BPC＝．

∵∠ACP＋∠BCP＝90°，

∴∠ACP＝90°－∠BCP＝90°－ ＝∠B．

即2∠ACP＝∠B．                                                        

（2）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝＝10．

如圖，當點O在CB上時，OC為⊙O 的半徑，

∵AC⊥OC，且點C在⊙O上，∴AC與⊙O相切．

連接OP、AO．∵⊙O與AB邊相切于點P，∴OP⊥AB．

設OC＝x，則OP＝x，OB＝BC－OC＝6－x．

∵AC＝AP，∴PB＝AB－AP＝2．

在△OPB中，∠OPB＝90°，OP²＋BP²＝OB²，

即x²＋2²＝(6－x)²，解得 x＝．

在△ACO中，∠ACO＝90°，AC²＋OC²＝AO²，

AO＝＝．

∵AC＝AP，OC＝OP，∴AO垂直平分CP．

∴CP＝2＝．

由題意可知，當點P與點A重合時，CP最長．

綜上，當點O在△ABC外時，＜CP≤8．