Question

【題目】如圖，△ABC的邊AB為⊙O的直徑，BC與⊙O交于點D，D為BC的中點，過點D作DE⊥AC于E．
（1）求證：AB=AC；
（2）求證：DE是⊙O的切線；
（3）若AB=13，BC=10，求CE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結AD，如圖，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∴D為BC的中點，

∴BD=CD，

∴AB=AC；

（2）證明：連結OD，如圖，

∵OA=OB，DB=DC，

∴OD為△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

（3）解：BD= BC=5，AC=AB=13，

∵∠DCE=∠ACD，

∴△CDE∽△CAD，

∴ = ，即 = ，

∴CE= ．

【解析】（1）連結AD，如圖，由圓周角定理得到∠ADB=90°，則AD⊥BC，加上BD=CD，即AD垂直平分BC，所以AB=AC；（2）連結OD，如圖，先證明OD為△ABC的中位線，根據三角形中位線性質得OD∥AC，而DE⊥AC，所以OD⊥DE，于是根據切線的判定定理可得DE是⊙O的切線；（3）易得BD= BC=5，AC=AB=13，接著證明△CDE∽△CAD，然后根據相似比可計算出CE．