Question

【題目】（1）如圖①，四邊形為正方形，點分別在與上，且，求證：．

（2）如圖②，在四邊形中，，點分別在與上，且.猜想與之間的數量關系，并證明你的猜想；

（3）如圖③，在四邊形中，與互補，點分別在與上，且，請直接寫出，與之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），詳見解析；（3），詳見解析

【解析】

（1）延長至點G，使AG=CF，根據正方形的性質證明△ADG≌△CDF，得到∠ADG=∠CDF，DG=DF，再證明△DEG≌△DEF，即可得到結論；

（2）延長BC至點H，使CH=AE，連接DH，同（1）的方法證明即可得到結論；

（3），延長BC至點M，使CM=AE，連接DM，同上的證明方法即可得到結論.

（1）如圖，延長至點G，使AG=CF，連接DG，

∵四邊形為正方形，

∴AD=CD，∠BAD=∠ADC=∠C=90°，

∴△ADG≌△CDF，

∴∠ADG=∠CDF，DG=DF，

∵,

∴∠ADG+∠CDF=∠ADE+∠CDF=45°，

∵DE=DE，

∴△DEG≌△DEF，

∴EF=GE=AG+AE=CF+AE，

∴；

（2）AE+CF=EF，

延長BC至點H，使CH=AE，連接DH，

∵∠A=∠BCD=90°，

∴∠A=∠DCH=90°，

∵AD=CD，AE=CH，

∴△ADE≌△CDH，

∴DE=DH，∠ADE=∠CDH，

∵∠ADC=120°，

∴∠EDH=120°，

∵∠EDF=60°，

∴∠HDF=∠EDF=60°，

又∵CD=CD，

∴△EDF≌△HDF，

∴EF=HF=CF+CH=AE+CF；

（3），

延長BC至點M，使CM=AE，連接DM，

∵∠DAB與∠BCD互補，

∴∠DAB+∠BCD==180°，

∴∠DAB=∠DCM，

∵AD=CD，AE=CM，

∴△ADE≌△CDM，

∴DE=DM，∠ADE=∠CDM，

∵,,

∴∠MDF=,

又∵DF=DF，

∴△EDF≌△MDF，

∴EF=MF=CM+CF=AE+CF.