Question

【題目】為了打造區域中心城市，實現跨越式發展，我市新區建設正按投資計劃有序推進．新區建設工程部，因道路建設需要開挖土石方，計劃每小時挖掘土石方540m3 ， 現決定向某大型機械租賃公司租用甲、乙兩種型號的挖掘機來完成這項工作，租賃公司提供的挖掘機有關信息如表：

	租金（單位：元/臺·時）	挖掘土石方量（單位：m3/臺·時）
甲型挖掘機	100	60
乙型挖掘機	120	80

（1）若租用甲、乙兩種型號的挖掘機共8臺，恰好完成每小時的挖掘量，則甲、乙兩種型號的挖掘機各需多少臺？
（2）如果每小時支付的租金不超過850元，又恰好完成每小時的挖掘量，那么共有幾種不同的租用方案？

Answer 1

【答案】
（1）解：設甲、乙兩種型號的挖掘機各需x臺、y臺．
依題意得：
解得 ．
答：甲、乙兩種型號的挖掘機各需5臺、3臺；（1）設甲、乙兩種型號的挖掘機各需x臺、y臺．根據甲、乙兩種型號的挖掘機共8臺，及8臺挖掘機恰好完成每小時的挖掘量，列出方程組，求解即可；
（2）解：設租用 臺甲型挖掘機， 臺乙型挖掘機．
依題意得： （ ， 均為自然數），
∴
∴方程的解為 ．
當m=9，n=0時，支付租金：100×9+120×0=900元＞850元，超出限額；
當m=5，n=3時，支付租金：100×5+120×3=860元＞850元，超出限額；
當m=1，n=6時，支付租金：100×1+120×6=820元，符合要求．
答：有一種租車方案，即租用1輛甲型挖掘機和6輛乙型挖掘機．
【解析】（1）設甲、乙兩種型號的挖掘機各需x臺、y臺．根據甲、乙兩種型號的挖掘機共8臺，及8臺挖掘機恰好完成每小時的挖掘量，列出方程組，求解即可；
（2）設租用 m 臺甲型挖掘機， n 臺乙型挖掘機．根據兩種挖掘機又恰好完成每小時的挖掘量列出二元一次方程，由于m,n代表的是挖掘機的數量，故都為自然數，從而得出原方程的自然數解，然后分別算出每種方式需付的租金，再看是否滿足每小時支付的租金不超過850元，從而得出租車方案。