Question

【題目】如圖，直線y=kx-3與x軸、y軸分別交于點B，C， = .

（1）求點B坐標和k值；
（2）若點A（x,y）是直線y=kx-3上在第一象限內的一個動點，當點A在運動過程中，試寫出△AOB的面積S與x的函數關系式（不要求寫自變量范圍）；并進一步求出點A的坐標為多少時，△AOB的面積為 ？
（3）在上述條件下，x軸上是否存在點P，使△AOP為等腰三角形？若存在，請寫出滿足條件的所有P點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

（1）∵直線y=kx-3與y軸的交點為C（0,-3）

∴OC＝3

∵ =

∴OB＝

∴B點坐標為（ ,0）

將B（ ,0）代入y=kx-3,得

k-1=0

解得k=2.

（2）

解：由（1）可知直線的解析式是y=2x-3,

S＝ ×OB×yA

= × ×(2x-3)

= x-

即：三角形AOB的面積S與x的函數關系式為S= x- ，

當S= 時， x- = ，解得x=3,則2x-3=3,即A（3,3）.

所以當點A的坐標為（3,3）時，△AOB的面積為 ？

（3）

解：存在.由（2）得A（3,3），AO=3 ，∠AOB=45°，

當OP=AO=3 時，P（3 ，0）或P（-3 ，0）；

當AP=OA=3 時，∠APO=∠AOP=45°，則OP= OA=6，P（6,0）；

當OP=AP時，P（3,0）.

【解析】（1）當x=0時，y=-3，即C（0,-3），由 = 求出B點坐標，將它代入直線y=kx-3可求出k；（2）因為點A在直線y=2x-3上,則A（x, 2x-3），由S= ×OB×yA ， 代入相應值即可求出S關于x的函數關系式；令S= 時，求出x的值，并代入直線解析式求出A點的坐標；（3）分類討論：當OP=AO時，當AP=OA時，當OP=AP時.結合A（3,3），AO=3 ，∠AOB=45°解題即可.
【考點精析】本題主要考查了一次函數的性質和一次函數的圖象和性質的相關知識點，需要掌握一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小；一次函數是直線，圖像經過仨象限；正比例函數更簡單,經過原點一直線；兩個系數k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠才能正確解答此題．