Question

如圖，拋物線y=ax2+bx+

5

2

與直線AB交于點A（-1，0），B（4，

5

2

）．點D是拋物線A，B兩點間部分上的一個動點（不與點A，B重合），直線CD與y軸平行，交直線AB于點C，連接AD，BD．
（1）求拋物線的解析式；
（2）①當D為拋物線頂點時，線段DC的長度是多少？
②設點D的橫坐標為m，△ADB的面積為S，求S關于m的函數關系式，并求出S的最大值．

Answer 1

（1）由題意得

a-b+ 5 2 =0 16a+4b+ 5 2 = 5 2 .

解得：

a=- 1 2 b=2.

故拋物線解析式為：y=-

1

2

x²+2x+

5

2

；

（2）①∵y=-

1

2

x²+2x+

5

2

=-

1

2

（x-2）²+

9

2

，
∴頂點D(2，

9

2

)
設直線AB為：y=kx+b，
則有

-k+b=0 4k+b= 5 2 .

解得

k= 1 2 b= 1 2 .

∴直線解析式為：y=

1

2

x+

1

2

，
當x=2時，y=

1

2

×2+

1

2

=

3

2

，
∴C(2，

3

2

)
∴CD=

9

2

-

3

2

=3，

②由題意可得：D（m，-

1

2

m2+2m+

5

2

），C（m，

1

2

m+

1

2

），
CD=（-

1

2

m2+2m+

5

2

）-（

1

2

m+

1

2

）
=-

1

2

m2+

3

2

m+2．
∴S=

1

2

(m+1)•CD+

1

2

(4-m)•CD
=

1

2

×5×CD
=

1

2

×5×（-

1

2

m2+

3

2

m+2）
=-

5

4

m²+

15

4

m+5
=-

5

4

（m-

3

2

）²+

125

16

．
∵-

5

4

＜0，
∴當m=

3

2

時，S最大值為

125

16

．