Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中點，點E是射線CB上的動點，連接DE，DF⊥DE交射線AC于點F．

（1）若點E在線段CB上．

①求證：AF＝CE．

②連接EF，試用等式表示AF、EB、EF這三條線段的數量關系，并說明理由．

（2）當EB＝3時，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②AF2+EB2＝EF2，理由詳見解析；（2）或．

【解析】

(1)①證明△ADF≌△CDE(ASA)，即可得出AF=CE；

②由①得△ADF≌△CDE(ASA)，得出AF=CE；同理△CDF≌△BDE(ASA)，得出CF=BE，在Rt△CEF中，由勾股定理得，即可得出結論；

(2)分兩種情況：①點E在線段CB上時，求出CE=BC﹣BE=1，由(1)得AF=CE=1，，即可得出答案；

②點E在線段CB延長線上時，求出CE=BC+BE=7，同(1)得△ADF≌△CDE(ASA)，得出AF=CE，求出CF=BE=3，在Rt△EF中，由勾股定理即可得出答案．

(1)①∵△ABC中，∠ACB=90，AC=BC=4，D是AB的中點，

∴∠DCE=45=∠A，CD=AB=AD，CD⊥AB，

∴∠ADC=90，

∵DF⊥DE，

∴∠FDE=90，

∴∠ADC=∠FDE，

∴∠ADF=∠CDE，

在△ADF和△CDE中，，

∴△ADF≌△CDE(ASA)，

∴AF=CE；

②，理由如下：

由①得：△ADF≌△CDE(ASA)，

∴AF=CE；

同理：△CDF≌△BDE(ASA)，

∴CF=BE，

在Rt△CEF中，

由勾股定理得：，

∴；

(2)分兩種情況：

①點E在線段CB上時，

∵BE=3，BC=4，

∴CE=BC﹣BE=1，

由(1)得：AF=CE=1，，

∴EF；

②點E在線段CB延長線上時，如圖2所示：

∵BE=3，BC=4，

∴CE=BC+BE=7，

同(1)得：△ADF≌△CDE(ASA)，

∴AF=CE=7，

∴CF=BE=3，

在Rt△CEF中，由勾股定理得：，

∴EF；

綜上所述，當EB=3時，EF的長為或．