Question

【題目】已知k為任意實數，隨著k的變化，拋物線y=x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣5的頂點隨之運動，則頂點運動時經過的路徑與兩條坐標軸圍成圖形的面積是_____．

Answer 1

【答案】4．

【解析】

先利用配方法得到拋物線的頂點坐標為（k﹣1，2k﹣6），利用頂點橫縱坐標的關系可判斷拋物線的頂點在直線y=2x﹣4上，再求出直線y=2x﹣4與坐標軸的交點坐標，然后計算直線y=2x﹣4與兩條坐標軸圍成圖形的面積即可．

∵y=x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣5=x2﹣2（k﹣1）x+（k﹣1）2+2k﹣6，∴拋物線的頂點坐標為（k﹣1，2k﹣6）．

∵2k﹣6=2（k﹣1）﹣4，∴拋物線的頂點在直線y=2x﹣4上，當x=0時，y=﹣4，直線y=2x﹣4與y軸的交點為（0，﹣4）；

當y=0時，2x﹣4=0，解得：x=2，直線y=2x﹣4與x軸的交點為（2，0）；

∴頂點運動時經過的路徑與兩條坐標軸圍成圖形的面積=×2×4=4．

故答案為：4．