Question

【題目】如圖，△ABC的邊AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，已知AC＝6cm，BC＝8cm，點P、Q分別在邊AB、BC上，且點P不與點A、B重合，BQ＝kAP（k＞0），聯接PC、PQ．

（1）求⊙O的半徑長；

（2）當k＝2時，設AP＝x，△CPQ的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出定義域；

（3）如果△CPQ與△ABC相似，且∠ACB＝∠CPQ，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）y=;（3）

【解析】

（1）首先證明∠ACB＝90°，然后利用勾股定理即可解決問題；

（2）如圖2中，作PH⊥BC于H．由PH∥AC，，推出，推出，得出，根據計算即可；

（3）因為△CPQ與△ABC相似，∠CPQ＝∠ACB＝90°，又因為∠CQP＞∠B，

所以只有∠PCB＝∠B，推出PC＝PB，由∠B+∠A＝90°，∠ACP+∠PCB＝90°，

推出∠A＝∠ACP，得出PA＝PC＝PB＝5，由△COQ∽△BCA，推出，

推出，即可解決問題.

（1）∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°，∵AC＝6，BC＝8，

∴，

∴⊙O的半徑為5．

（2）如圖2中，作PH⊥BC于H．

∵PH∥AC，

∴，

∴，

∴，

∴．

（3）如圖2中，

∵△CPQ與△ABC相似，∠CPQ＝∠ACB＝90°，

又∵∠CQP＞∠B，

∴只有∠PCB＝∠B，

∴PC＝PB，

∵∠B+∠A＝90°，∠ACP+∠PCB＝90°，

∴∠A＝∠ACP，

∴PA＝PC＝PB＝5，

∴△COQ∽△BCA，

∴，

∴，

∴．