Question

已知：如圖，以定線段AB為直徑作半圓O，P為半圓上任意一點（異于A、B），過點P作半圓O的切線分別交過A、B兩點的切線于D、C，AC、BD相交于N點，連接ON、NP．下列結論：①四邊形ANPD是梯形；②ON=NP；③PA為∠NPD的平分線．其中一定成立的是

1. A.
   ①②
2. B.
   ②③
3. C.
   ①③
4. D.
   ①

Answer 1

C
分析：①根據切線長定理，運用比例線段判斷AD∥NP；
②沒有依據；
③根據AD=DP，AD∥NP求解．
解答：①因為DA、DP、CP、CB為⊙O切線，故DA⊥AB，CB⊥AB．
于是AD∥BC，AD=DP，CB=CP．
由于△AND∽△CNB，所以==，
故NP∥AD，四邊形ANPD是梯形；
②不能確定；
③因為DA=DP，所以∠DAP=∠DPA．
因為NP∥AD，所以∠NPA=∠DAP．
所以∠DPA=∠NPA．
PA為∠NPD的平分線．
故選C．
點評：此題難度較大，綜合考查了相似三角形的性質，切線的性質及平行線分線段成比例定理，對同學們的推理能力有較高要求．