Question

已知：如圖，以定線段AB為直徑作半圓O，P為半圓上任意一點（異于A、B），過點P作半圓O的切線分別交過A、B兩點的切線于D、C，連接OC、BP，過點O作OM∥CD分別交BC與BP于點M、N．下列結論：
①S_{四邊形ABCD}=

1

2

AB•CD；
②AD=AB；
③AD=ON；
④AB為過O、C、D三點的圓的切線．
其中正確的個數(shù)有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：連接OD、AP，根據(jù)切線長定理求出AD=DP，CP=BC，根據(jù)面積公式判斷①即可；根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊即可判斷②；證△DPO和△PON全等證出DP=ON即可判斷③，證△DOC是直角三角形，取CD中點Q，證出OQ是半徑，證梯形ABCD，推出∠AOQ=90°即可判斷④．

解答：解：連接OD、AP，
∵DA、DP、BC分別是圓的切線，切點分別是A、P、B，
∴DA=DP，CP=CB，∠A=90°=∠B=∠DPO，
∴AD+BC=DP+CP=CD，
∴S_{四邊形ABCD}=

1

2

（AD+BC）•AB=

1

2

AB•CD，∴①正確；
∵AD=DP＜OD＜AB，∴②錯誤；
∵AB是圓的直徑，
∴∠APB=90°，
∵DP=AD，AO=OP，
∴D、O在AP的垂直平分線上，
∴OD⊥AP，
∵∠DPO=∠APB=90°，
∴∠OPB=∠DPA=∠DOP，
∵OM∥CD，
∴∠POM=∠DPO=90°，
在△DPO和△NOP中
∠PON=∠DPO，OP=OP，∠DOP=∠OPN，
∴△DPO≌△NOP，
∴ON=DP=AD，∴③正確；
∵AP⊥OD，OA=OP，
∴∠AOD=∠POD，
同理∠BOC=∠POC，
∴∠DOC=

1

2

×180°=90°，
∴△CDO的外接圓的直徑是CD，
∵∠A=∠B=90°，
取CD的中點Q，連接OQ，
∵OA=OB，
∴AD∥OQ∥BC，
∴∠AOQ=90°，
∴④正確．
故選C．

點評：本題綜合考查了切線長定理，全等三角形的性質和判定，直角梯形，圓周角定理，線段的垂直平分線性質，切線的判定等知識點，本題難度較大，對學生有較高的要求，綜合性比較強，培養(yǎng)了學生綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力．