Question

已知：如圖，以定線段AB為直徑作半圓O，P為半圓上任意一點（異于A，B），過點P作半圓O的切線分別交過A，B兩點的切線于D，C，AC、BD相交于N點，連接ON、NP．下列結論：①四邊形ANPD是梯形；②ON=NP；③DP•PC為定值；④PA為∠NPD的平分線．其中一定成立的是（　　）

• A、①②
• B、②④
• C、①③④
• D、②③④

Answer 1

分析：①由DA，DP，CP，CB為圓O的切線，根據切線性質得到DA與AB垂直，CB與AB垂直，根據同旁內角互補得到AD與BC平行，由兩直線平行得到兩對內錯角相等，進而得到三角形AND與三角形BCN相似，根據相似得比例，等量代換后得到CP：DP=BN：DN，運用比例線段得到NP與BC平行，又BC與AD平行，故NP與AB平行，又DP與AN不平行，根據梯形定義可得ANPD為梯形；
②沒有依據；
③連接OP，OD，OC，利用“HL”得到直角三角形AOD與POD全等，同理三角形BOC與三角形POC全等，進而得到對應角相等，由平角定義，利用等量代換得到∠COD為直角，又根據切線性質得到OP與CD垂直，根據兩三角形相似得到OP²=DP•PC，而OP為圓O的半徑，為定值，故DP•PC為定值；
④由選項①得到的NP與AD平行，得到內錯角相等，再根據切線長相等及等邊對等角得到一對角相等，等量代換得∠APN=∠APD，故PA為∠NPD的角平分線．

解答：解：①因為DA、DP、CP、CB為⊙O切線，故DA⊥AB，CB⊥AB．
于是AD∥BC，AD=DP，CB=CP．
∴∠CAD=∠NCB，∠ADN=∠DBC，
∴△AND∽△CNB，
∴

CB

AD

=

CN

NA

=

CP

DP

，
∴NP∥BC，
故NP∥AD，又AN與DP相交，
∴四邊形ANPD是梯形，本選項正確；
②不能確定；
③連接OP，OD，OC，如圖所示：

由DA，DP為圓O的切線，
∴∠OAD=∠OPD=90°，
在直角三角形OAD和OPD中，
DA=DP，OD=OD，
∴△OAD≌△OPD，
∴∠AOD=∠POD，
同理∠POC=∠BOC，
∠AOD+∠DOP+∠POC+∠BOC=180°，
∴∠COD=∠DOP+∠COP=90°，又OP⊥CD，
∴∠POD+∠POC=90°，∠POD+∠ODP=90°，
∴∠ODP=∠POC，同理∠POD=∠PCO，
∴△OPD∽△CPO，又AD=DP，CB=CP，
∴

OP

PC

=

DP

OP

，即OP²=DP•PC，
∵OP為圓O的半徑，為定值，故DP•PC為定值，本選項正確；
④因為DA=DP，所以∠DAP=∠DPA．
因為NP∥AD，所以∠NPA=∠DAP．
所以∠DPA=∠NPA．
PA為∠NPD的平分線．
則一定成立的選項有：①③④．
故答案為：①③④．

點評：此題難度較大，綜合考查了相似三角形的判定與性質，切線的性質及平行線分線段成比例定理，對同學們的推理能力有較高要求．要求學生多觀察，多分析，把所學融會貫通，靈活運用，培養了學生分析問題，解決問題的能力．