Question

【題目】如圖，正五邊形ABCDE的邊長為2，連結AC、AD、BE，BE分別與AC和AD相交于點F、G，連結DF，給出下列結論：①∠FDG=18°；②FG=3﹣ ；③（S四邊形CDEF）2=9+2 ；④DF2﹣DG2=7﹣2 ．其中結論正確的個數是（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①∵五方形ABCDE是正五邊形，
∴AB=BC，∠ABC=180°﹣ =108°，
∴∠BAC=∠ACB=36°，
∴∠ACD=108°﹣36°=72°，
同理得：∠ADE=36°，
∵∠BAE=108°，AB=AE，
∴∠ABE=36°，
∴∠CBF=108°﹣36°=72°，
∴BC=FC，
∵BC=CD，
∴CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD= =54°，
∴∠FDG=∠CDE﹣∠CDF﹣∠ADE=108°﹣54°﹣36°=18°；
所以①正確；
②∵∠ABE=∠ACB=36°，∠BAC=∠BAF，
∴△ABF∽△ACB，
∴ ，
∴ABED=ACEG，
∵AB=ED=2，AC=BE=BG+EF﹣FG=2AB﹣FG=4﹣FG，EG=BG﹣FG=2﹣FG，
∴22=（2﹣FG）（4﹣FG），
∴FG=3+ ＞2（舍），FG=3﹣ ；
所以②正確；
③如圖1，

∵∠EBC=72°，∠BCD=108°，
∴∠EBC+∠BCD=180°，
∴EF∥CD，
∵EF=CD=2，
∴四邊形CDEF是平行四邊形，
過D作DM⊥EG于M，
∵DG=DE，
∴EM=MG= EG= （EF﹣FG）= （2﹣3+ ）= ，
由勾股定理得：DM= = = ，
∴（S四邊形CDEF）2=EF2DM2=4× =10+2 ；
所以③不正確；
④如圖2，連接EC，

∵EF=ED，
∴CDEF是菱形，
∴FD⊥EC，
∵EC=BE=4﹣FG=4﹣（3﹣ ）=1+ ，
∴S四邊形CDEF= FDEC=2× ，
×FD×（1+ ）= ，
FD2=10﹣2 ，
∴DF2﹣DG2=10﹣2 ﹣4=6﹣2 ，
所以④不正確；
本題正確的有兩個，
故答案為：B．
①根據正五邊形的性質證明△ABC，△ABE，△ADE是等腰三角形，求出∠ABC，∠ACB，∠BCD，∠CDE及∠ADE的度數，再證明CD=CF，根據等邊對等角得出∠CDF=∠CFD=54°，然后根據∠FDG=∠CDE﹣∠CDF﹣∠ADE，計算即可求出∠FDG的度數，可對①作出判斷；②先利用相似三角形的判定證明△ABF∽△ACB，得出ABED=ACEG，建立方程求出FG的長，就可對②作出判斷；③先根據已知證明四邊形CDEF是平行四邊形，過D作DM⊥EG于M，求出EM的長，再利用勾股定理求出DM的長，然后求出（S四邊形CDEF）2的值，可對③作出判斷；④根據菱形的判斷方法證明CDEF是菱形，得出FD⊥EC，求出EC的長，再根據菱形的面積公式建立方程求出FD2的長，然后求出DF2﹣DG2即可，就可對④作出判斷；即可得出答案。