Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A、B分別在x軸、y軸上，線段OA、OB的長(OA<OB)是方程組的解，點C是直線與直線AB的交點，點D在線段OC上，OD=

(1)求點C的坐標；

(2)求直線AD的解析式；

(3)P是直線AD上的點，在平面內是否存在點Q，使以O、A、P、Q為頂點的四邊形是菱形（鄰邊相等的平行四邊形）?若存在，請寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C點的坐標是（3，6）；（2）AD的函數解析式為y＝x＋6；（3）Q1（3，3）、Q2（3，3）、Q3（6，6）、Q4（3，3）．

【解析】

（1）根據解方程組，可得A、B的坐標，根據待定系數法，可得函數解析式，根據解方程組，可得點C的坐標；
（2）根據D在OC上，OD＝，可得方程組，根據解方程組，可得D點坐標，根據待定系數法，可得AD的函數解析式；
（3）結合菱形的性質，分情況討論：若P在x軸上方，若P在x軸下方，若Q在x軸上方，若Q在x軸下方，進行計算即可得到答案．

（1）解，得，即A（6，0）、B（0，12）．設直線AB的解析式y＝kx＋b，把A、B點的坐標代入函數解析式，得，解得．直線AB的解析式y＝2x＋12，由點C是直線y＝2x與直線AB的交點，得，解得,C點的坐標是（3，6）；
（2）由點D在線段OC上，OD＝，
得，解得，即D點坐標是（2，4）
設AD的函數解析式為y＝kx＋b，把A、D點的坐標代入，得
，解得．
AD的函數解析式為y＝x＋6；
（3）過D作DF⊥x軸，由（2）中D的坐標可知，則DF＝AF＝4，所以∠OAD＝45°，因為以O、A、P、Q為頂點的四邊形是菱形，所以需分情況討論：

若P在x軸上方，OAPQ是菱形，則PQ∥OA，PQ＝OA＝/span>6＝AP，過P作PM⊥x軸，

如圖所示，

因為∠OAD＝45°，由三角函數可得PM=AM＝＝3，OM＝63，即P（63，3），

所以Q的橫坐標為636＝3，Q1（3，3）；

若P在x軸下方，OAPQ是菱形，則PQ∥OA，PQ＝OA＝6＝AP．過P作PM⊥x軸，

如圖所示，

因為∠MAP＝∠OAD＝45°，由三角函數得到PM＝AM=＝3，OM＝6＋3，即P（6＋3，3），

所以Q的橫坐標為6＋36＝3，Q2（3，3）；

若Q在x軸上方，OAQP是菱形，則∠OAQ＝2∠OAD＝90°，所以此時OAQP是正方形．

又因正方形邊長為6，所以此時Q3（6，6）；

若Q在x軸下方，OPAQ是菱形，則∠PAQ＝2∠OAD＝90°，

所以此時OPAQ是正方形．又因正方形對角線為6，

由正方形的對稱性可得Q4（3，/span>3）．