Question

19．若a、b是方程x²-4x+1=0的兩個根，c是方程x²-9=0的正根，問以a、b、c為邊的三角形是否存在？若存在，請加以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 先根據根與系數的關系得到a+b=4，ab=1，則利用完全平方公式可計算出|a-b|=$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$=2$\sqrt{3}$，再利用直接開平方法得到c=3，然后根據三角形三邊的關系可判斷以a、b、c為邊的三角形不存在．

解答 解：不存在．理由如下：
∵a、b是方程x²-4x+1=0的兩個根，
∴a+b=4，ab=1，
∴|a-b|=$\sqrt{（a-b）^{2}}$=$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$=$\sqrt{{4}^{2}-4×1}$=2$\sqrt{3}$，
∵c是方程x²-9=0的正根，
∴c=3，
∵|a-b|＞c，
∴以a、b、c為邊的三角形不存在．

點評 本題考查了根與系數的關系：若二次項系數不為1，則常用以下關系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了三角形三邊的關系．