Question

【題目】感知：如圖①，在正方形中，是一點，是延長線上一點，且，求證：；

拓展：在圖①中，若在，且，則成立嗎？為什么？

運用：如圖②在四邊形中，，，，是上一點，且，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）GE=BE+GD成立，理由見解析；（3）

【解析】

（1）利用已知條件，可證出△BCE≌△DCF(SAS)，即可得到CE=CF；

（2）借助（1）的結論得出∠BCE=∠DCF，再通過角的計算得出∠GCF=∠GCE，由SAS可得△ECG≌△FCG，則EG=GF，從而得出GE=DF+GD=BE+GD；

（3）過C作CG⊥AD，交AD延長線于G，先證四邊形ABCG是正方形(有一組鄰邊相等的矩形是正方形)，再設DE=x，利用（1）、（2）的結論，在Rt△AED中利用勾股定理構造方程即可求出DE．

（1）證明：如圖①，在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠ADC=90°，

∴∠CDF=90°，即∠B=∠CDF =90°，

在△BCE和△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF(SAS)，

∴CE=CF；

（2）解：如圖①，GE=BE+GD成立，理由如下：

由（1）得△BCE≌△DCF，

∴∠BCE=∠DCF，

∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD，

即∠ECF=∠BCD=90°，

又∵∠GCE=45°，

∴∠GCF=∠ECF∠ECG=45°，則∠GCF=∠GCE，

在△GEC和△GFC中，

，

∴△GEC≌△GFC(SAS)，

∴EG=GF，

∴GE=DF+GD=BE+GD；

（3）解：如圖②，過C作CG⊥AD于G，

∴∠CGA=90°，

在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，

∴四邊形ABCG為矩形，

又∵AB=BC，

∴四邊形ABCG為正方形，

∴AG=BC=AB=16，

∵∠DCE=45°，由（1）和（2）的結論可得：ED=BE+DG，

設DE=x，

∵，

∴AE=12，DG=x4，

∴AD=AGDG=20x

在Rt△AED中，

由勾股定理得：DE2=AD2+AE2，

即x2=(20x)2+122

解得：，

即．