Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上一點，且滿足 ，連接AF并延長交⊙O于點E，連接AD、DE，若CF＝2，AF＝3，給出下列結論：①△ADF∽△AED；②CD＝8；③tan∠E＝；④S△ADE＝6，其中正確的有個數是（ ）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】B

【解析】

①利用垂徑定理可知弧AC=弧AD，可知∠ADF=∠AED，結合公共角可證明△ADF∽△AED；

②結合CF=2，且=，可求得DF=6，且CG=DG，可求得CD=8；

③在Rt△AGF中可求得AG，在Rt△AGD中可求得tanADG=，且∠E=∠ADG，可判斷出③；

④可先求得S△ADF，再求得△ADF∽△AED的相似比和面積比的關系，可求出S△ADE=7．

解：①∵AB為直徑，AB⊥CD，

∴弧AC=弧AD，

∴∠ADF=∠AED，且∠FAD=∠DAE，

∴△ADF∽△AED，

∴①正確；

②∵AB為直徑，AB⊥CD，

∴CG=DG，

∵=，且CF=2，

∴FD=6，

∴CD=8，

∴②正確；

③在Rt△AGF中，FG=CG-CF=4-2=2，

∵AF=3，

∴AG===，且DG=4，

∴tan∠ADG=＝，

∵∠E=∠ADG，

∴tan∠E=，

∴③錯誤；

④在Rt△ADG中，AG=，DG=4，

∴AD===，

由①知：△ADF∽△AED，

∴=()2，

∵S△ADF=DFAG=×6×=3，

∴=()2=，

∴S△ADE=7，

∴④錯誤；

∴正確的有①②，兩個．

故選：B．