Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AB＝4，∠DAB＝120°，動點P從點A出發，以每秒2個單位的速度沿AC向終點C運動．過P作PE⊥AB交AB于點E，作PF⊥AD交AD于點F，設四邊形AEPF與△ABD的重疊部分的面積為S，點P的運動時間為t．

（1）用含t的代數式表示線段BE的長；

（2）當點P與點O重合時，求t的值；

（3）求S與t之間的函數關系式；

（4）在點P出發的同時，有一點Q從點C出發，以每秒6個單位的速度沿折線C﹣D﹣A﹣B運動，設點Q關于AC的對稱點是Q'，直接寫出PQ'與菱形ABCD的邊垂直時t的值．

Answer 1

【答案】（1）BE＝4﹣t；（2）t＝1；（3）當0＜t≤1時，當1＜t≤2時，；（4）t的值為s或s或s

【解析】

（1）解直角三角形求出AE即可解決問題．

（2）根據PA＝OA，構建方程即可解決問題．

（3）分兩種情形分別畫出圖形解決問題即可．

（4）分三種情形：①如圖4﹣1中，當PQ′⊥BC時．②如圖4﹣2中，當點Q與點F重合時．③如圖4﹣3中，當點Q與點E重合時，分別求解即可．

解：（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CAD＝∠CAB＝∠DAB＝60°，

∴△ADC，△ABC都是等邊三角形，

∵PE⊥AB，PA＝2t，

∴∠PEA＝90°，∠APE＝30°，

∴AE＝PA＝t，

∴BE＝AB﹣AE＝4﹣t．

（2）當點P與點O重合時，PA＝OA＝2＝2t，

∴t＝1時，點P與點O重合．

（3）當0＜t≤1時，如圖1中，重疊部分是四邊形PEAF，S＝2××t×t＝t2．

當1＜t≤2時，如圖2中，重疊部分是五邊形AEMNF，S＝S四邊形PEAF﹣S△PMN＝t2﹣．

（4）如圖4﹣1中，當PQ′⊥BC時，易知PC＝2CQ′，可得4﹣2t＝2×6t，解得t＝．

如圖4﹣2中，當點Q與點F重合時，PQ⊥AB，則有：6t+t＝8，t＝

如圖4﹣3中，當點Q與點E重合時，PQ′⊥AD，則有：6t＝8+t，t＝，

綜上所述，滿足條件的t的值為s或s或s．