Question

【題目】如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB交CD于點E，連接BD、OB．
（1）求證：△AEC∽△DEB；
（2）若CD⊥AB，AB=8，DE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠AEC=∠DEB，∠ACE=∠DBE，

∴△AEC∽△DEB

（2）解：設⊙O的半徑為r，則CE=2r﹣2．

∵CD⊥AB，AB=8，

∴AE=BE= AB=4．

∵△AEC∽△DEB，

∴ ，即 ，

解得：r=5

【解析】（1）由同弧的圓周角相等即可得出∠ACE=∠DBE，結合∠AEC=∠DEB，即可證出△AEC∽△DEB；（2）設⊙O的半徑為r，則CE=2r﹣2，根據垂徑定理以及三角形相似的性質即可得出關于r的一元一次方程，解方程即可得出r值，此題得解．
【考點精析】認真審題，首先需要了解垂徑定理(垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧)，還要掌握相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關知識才是答題的關鍵．