Question

【題目】下列圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規律組成的，請根據排列規律完成下列問題：

（1）填寫下表：

圖形序號	菱形個數（個）
①	3
②	7
③	________
④	________
……	……

（2）根據表中規律猜想，圖n中菱形的個數_______（用含n的式子表示）；

（3）是否存在一個圖形恰好由111個菱形組成？若存在，求出圖的序號；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）③ 13，④ 21；（2）圖n中菱形的個數（3）存在，是圖⑩．

【解析】

（1）觀察圖形，數出圖③、圖④中菱形的個數；

（2）設圖n中菱形的個數為an（n為正整數），觀察圖形，找出部分圖形中菱形的個數，根據菱形個數的變化（分成上下兩部分，根據兩部分的變化）可找出變化規律“an=n2+n+1（n為正整數）”；

（3）由（2）的結論結合菱形的個數為111，即可得出關于n的一元二次方程，解之取其正值（正整數值）即可得出結論．

（1）觀察圖形，可知：圖③中有13個菱形，圖④中有21個菱形．

故答案為：13；21．

（2）設圖n中菱形的個數為an（n為正整數），

觀察圖形，可知：a1=3=1+2，a2=7=4+3，a3=13=9+4，a4=21=16+5，…，

∴an=n2+n+1（n為正整數）．

（3）依題意，得：n2+n+1=111，

解得：n1=-11（舍去），a2=10，

∴存在一個圖形恰好由111個菱形組成，該圖形的序號為⑩．