Question

【題目】如圖，在中， ，點到兩邊的距離相等，且．

（1）先用尺規作出符合要求的點（保留作圖痕跡，不需要寫作法），然后判斷△ABP的形狀，并說明理由；

（2）設，，試用、的代數式表示的周長和面積；

（3）設與交于點，試探索當邊、的長度變化時，的值是否發生變化，若不變，試求出這個不變的值，若變化，試說明理由．

Answer 1

【答案】(1)作圖見解析；ΔABP是等腰直角三角形. 理由見解析；（2）； （3）.

【解析】（1）依題意，點P既在的平分線上，

又在線段AB的垂直平分線上.

如圖1，作的平分線，

作線段的垂直平分線， 與的

交點即為所求的P點。┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分

是等腰直角三角形.

理由：過點P分別作、，垂足為E、F如圖2.

∵平分，、，垂足為E、F，

∴.

又∵ ，∴ ≌.┄┄┄┄┄┄┄┄4分

∴ .

∵，，img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/12/29/00/6d4be9c4/SYS201712290014047265331147_DA/SYS201712290014047265331147_DA.023.png" width="88" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，

∴， 從而.

又 ∴ 是等腰直角三角形. ┄┄┄┄┄┄┄┄5分

（2）如圖2，在中，，

，. ∴.

由≌，≌，

可得，.

∴.

在中，，，，

∴. ∴. ┄┄┄┄6分

所以的周長為：. ┄┄┄┄7分

因為的面積=的面積的面積的面積

==

=（）┄┄9分

或 .

（3）過點分別作、，垂足為、如圖3.

∵ .┄┄┄┄10分

由∥得 ①┄┄┄┄┄┄┄┄11分

由∥得 ② ┄┄┄┄┄┄12分

①+②，得 ，即 .

∴ ， 即 ┄┄┄┄13分