Question

如圖1，在?ABCD中，AH⊥DC，垂足為H，AB=4

7

，AD=7，AH=

21

．現有兩個動點E，F同時從點A出發，分別以每秒1個單位長度、每秒3個單位長度的速度沿射線AC方向勻速運動，在點E，F的運動過程中，以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG與△ABC在射線AC的同側，當點E運動到點C時，E，F兩點同時停止運動，設運動時間為t秒．
（1）求線段AC的長；
（2）在整個運動過程中，設等邊△EFG與△ABC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數關系式，并寫出相應的自變量t的取值范圍；
（3）當等邊△EFG的頂點E到達點C時，如圖2，將△EFG繞著點C旋轉一個角度α（0°＜α＜360°），在旋轉過程中，點E與點C重合，F的對應點為F′，G的對應點為G′，設直線F′G′與射線DC、射線AC分別相交于M，N兩點．試問：是否存在點M，N，使得△CMN是以∠MCN為底角的等腰三角形？若存在，請求出CM的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1