Question

【題目】如圖,在平面直角坐標系中，點A與點B關于原點O對稱，點A,點C，點P在直線BC上運動.

(1)連接AC、BC，求證：△ABC是等邊三角形；

(2)求點P的坐標,使∠APO=；

(3)在平面內,平移直線BC,試探索:當BC在不同位置時,使∠APO=的點P的個數是否保持不變?若不變,指出點P的個數有幾個?若改變,指出點P的個數情況,并簡要說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（0，），（1，）；（3）見解析.

【解析】

（1）如圖（見解析），根據A、B、C三點的坐標求出AB、AC、BC的長，即可得證；

（2）由題（1）的結論可知，，因此當點P與點C重合，符合條件；如圖（見解析），取BC的中點，連接，由等邊三角形性質可得，則，故點也符合條件，最后根據為BC邊上的中點即可求得其坐標；

（3）因為以AO為弦畫圓，AO所對的圓心角等于，則根據圓周角定理得，直線BC與圓的交點P即為滿足條件的點，又因這樣的圓共有2個：如圖（見解析），逐一分析直線BC與兩圓的位置關系即可得.

（1）根據A、B、C三點的坐標可得：

在中，

在中，

則

故是等邊三角形；

（2）是等邊三角形

則當點P與點C重合，符合條件，此時P的坐標為；

當點P與點C不重合時，取BC的中點，連接

由等邊三角形的性質得：

，故點就是符合條件的點

又

是等邊三角形

過作

（是的中位線）

則點的坐標是

綜上，所求點P的坐標為，；

（3）當BC在不同位置時，點P的個數會發生改變，使得的點P的個數情況共有4種：1個，2個，3個，4個，理由如下：

如圖，以AO為弦畫圓，AO所對的圓心角等于的圓共有2個，記作圓Q和圓，顯然點Q和點關于x軸對稱

因為直線BC與圓Q和圓的公共點P都滿足

所以點P的個數情況如下：

①有1個：直線BC與圓Q（或圓）相切

②有2個：直線BC與圓Q（或圓）相交

③有3個：直線BC與圓Q（或圓）相切，同時與圓（或圓Q）相交；直線BC經過圓Q與圓的一個交點，同時與兩圓相交

④有4個：直線BC與圓Q，圓都相交，且不經過兩圓的交點.