Question

【題目】如圖，BC是⊙O的直徑，A是弦BD延長線上一點，切線DE平分AC于E。

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若AD:DB=3:2，AC=15，求⊙O的直徑。

Answer 1

【答案】（1）連接OD、CD，先根據切線的性質得到OD⊥DE，即∠1+∠2=90°，再根據圓周角定理可得∠BDC=90°，再結合E為AC的中點，根據直角三角形的性質可得DE=CE=AE=AC，即得∠2=∠3，根據元的基本性質可得∠1=∠4，即得∠3+∠4=∠1+∠2=90°，從而證得結論；（2）

【解析】

試題分析：（1）連接OD、CD，先根據切線的性質得到OD⊥DE，即∠1+∠2=90°，再根據圓周角定理可得∠BDC=90°，再結合E為AC的中點，根據直角三角形的性質可得DE=CE=AE=AC，即得∠2=∠3，根據元的基本性質可得∠1=∠4，即得∠3+∠4=∠1+∠2=90°，從而證得結論；

（2）分別證得△ACD∽△ABC與△ACD∽△BCD，根據相似三角形的性質可得，，由AD:DB=3:2可設AD=3k，DB=2k，則AB=5k，即可求得結果.

（1）連接OD、CD

∵DE是⊙O的切線，切點為D

∴OD⊥DE于D

∴∠ODE=90°，即∠1+∠2=90°；

∵BC為⊙O的直徑

∴∠BDC=90°

∴∠ADC=90°

∵E為AC的中點

∴DE=CE=AE=AC

∴∠2=∠3

∵⊙O中，OC=OD

∴∠1=∠4

∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°

∴OC⊥AC于C

∴AC是⊙O的切線；

（2）∵∠ACD=∠BDC=90°，∠A=∠A

∴△ACD∽△ABC

同理：△ACD∽△BCD

∴①

②

∵AD:DB=3:2

∴設AD=3k，DB=2k，則AB=5k

∴①

②

∴.